Kub splinelar bilan interpolyatsiya qilish misol yechimi. Spline nazariyasi yechimlariga misollar. Spline yozishning maxsus shakli
ROSSIYA FEDERASİYASI TA'LIM VA FAN VAZIRLIGI
Federal davlat avtonom ta'lim muassasasi
oliy kasbiy ta'lim
"Rossiyaning Birinchi Prezidenti B.N. Yeltsin nomidagi Ural Federal universiteti"
Radioelektronika va axborot texnologiyalari instituti - RTF
Bo'lim Avtomatlashtirish va axborot texnologiyalari
Spline interpolyatsiyasi
“Raqamli usullar” FANIDAN LABORATORATORIYA ishi UCHUN USLUBIY KO‘RSATMALAR.
Katta o'qituvchi I.A.Selivanova tomonidan tuzilgan.
SPLINELAR BILAN INTERPOLATSIYA:"Raqamli usullar" fanidan amaliy mashg'ulotlar uchun ko'rsatmalar.
Yo'riqnomalar 230100 - "Informatika va informatika" yo'nalishi bo'yicha barcha ta'lim shakllari talabalari uchun mo'ljallangan.
Ó Federal davlat avtonom oliy kasbiy ta'lim muassasasi "Rossiyaning birinchi Prezidenti B.N. Yeltsin nomidagi Ural federal universiteti", 2011 yil
1. SPLINELAR BILAN INTERPOLATYASIYA. 4
1.1. Kubik splinelar. 4
1.2. Splayn yozishning maxsus shakli. 5
1.3. Kvadrat splinelar. 13
1.4. Amaliy topshiriq. 18
1.5. Vazifalar uchun variantlar. 19
Adabiyotlar 21
1. Spline interpolyatsiyasi.
oraliq [ a,b] funksiyasini almashtirmoqchi boʻlgan f(x) katta bo'lsa, spline interpolyatsiyasi qo'llanilishi mumkin.
1.1. Kubik splinelar.
Interpolyatsiya splaynlari 3 tartib - bular 3 ko'phadli bo'laklardan tashkil topgan funksiyalar th buyurtma. Interfeys tugunlarida funksiya va uning birinchi va ikkinchi hosilalarining uzluksizligi ta'minlanadi. Taxminlovchi funktsiya odatda teng darajada kichik bo'lgan, har biri segmentning o'ziga xos qismida aniqlangan individual polinomlardan iborat.
Segmentga ruxsat bering [ a,
b] haqiqiy o'q x
qiymatlari aniqlanadigan tugunlarida panjara ko'rsatilgan
funktsiyalari f(x).
Segmentda qurish talab qilinadi [ a,
b] uzluksiz spline funktsiyasi S(x),
quyidagi shartlarga javob beradi:
Kerakli splaynni qurish uchun siz koeffitsientlarni topishingiz kerak
polinomlar
,i=1,…
n, ya'ni. 4
n
qanoatlantiradigan noma'lum koeffitsientlar 4
n-2
(1), (2), (3) tenglamalar. Tenglamalar sistemasi yechimga ega bo'lishi uchun ikkita qo'shimcha (chegara) shart qo'shiladi. Uch turdagi chegara shartlari qo'llaniladi:
Shartlar (1), (2), (3) va shartlardan biri (4), (5), (6) buyurtmaning SLAE ni tashkil qiladi. 4 n. Tizimni Gauss usuli yordamida yechish mumkin. Biroq, kubik ko'phadni yozishning maxsus shaklini tanlab, siz echilayotgan tenglamalar tizimining tartibini sezilarli darajada qisqartirishingiz mumkin.
1.2. Splayn yozishning maxsus shakli.
Segmentni ko'rib chiqing
. Keling, quyidagi o'zgaruvchan belgilar bilan tanishamiz:
Bu yerga
- segment uzunligi
,
,
- yordamchi o'zgaruvchilar;
x– segmentdagi oraliq nuqta
.
Qachon x
intervaldagi barcha qiymatlar orqali ishlaydi
, o'zgaruvchan 0 dan 1 gacha o'zgaradi va
1 dan 0 gacha o'zgaradi.
Kub polinom bo'lsin
segmentida
shaklga ega:
O'zgaruvchilar Va
muayyan interpolyatsiya segmentiga nisbatan aniqlanadi.
Spline qiymatini topamiz
segmentning oxirida
. Nuqta
segment uchun boshlang'ich nuqtadir
, Shunung uchun =0,
=1 va (3.8) ga muvofiq:
.
Segment oxirida
=1,
=0 va
.
Interval uchun
nuqta
cheklangan, shuning uchun =1,
=0 va (9) formuladan biz quyidagilarni olamiz:
. Shunday qilib, funksiyaning uzluksizligi sharti bajariladi S(x)
i sonlarning tanlanishidan qat’iy nazar kubik ko‘phadlarning tutashish nuqtalarida.
i koeffitsientlarini aniqlash uchun, i=0,… n (8) ni kompleks funksiya sifatida ikki marta ajratamiz x. Keyin
Splinening ikkinchi hosilalarini aniqlaymiz
Va
:
Polinom uchun
nuqta interpolyatsiya segmentining boshlanishi va =0,
=1, shuning uchun
(15) va (16) dan kelib chiqadiki, intervalda [ a,b]3-tartibli ko‘phadlar bo‘laklaridan “bir-biriga yopishtirilgan” spline funksiyasi uzluksiz 2-tartibli hosilaga ega.
Funktsiyaning birinchi hosilasining uzluksizligini olish S(x), Ichki interpolyatsiya tugunlarida quyidagi shartlar bajarilishini talab qilaylik:
Tabiiy kubik spline uchun
, shuning uchun tenglamalar tizimi quyidagicha ko'rinadi:
va (17) tenglamalar tizimi quyidagicha ko'rinadi:
Misol.
Dastlabki ma'lumotlar:
Funktsiyani almashtiring
interpolyatsiya qiluvchi kubik spline, uning berilgan tugun nuqtalarida qiymatlari (jadvalga qarang) bir xil nuqtalardagi funktsiya qiymatlariga to'g'ri keladi. Turli xil chegara shartlarini ko'rib chiqing.
Tugun nuqtalarda funksiyaning qiymatini hisoblaymiz. Buning uchun jadvaldagi qiymatlarni berilgan funktsiyaga almashtiring.
Keling, birinchi chegara shartlarini ko'rib chiqaylik.
Turli chegara sharoitlari uchun (4), (5), (6) kubik shplinlarning koeffitsientlarini topamiz.
Bizning holatda n=3,
,
,
. Topmoq
Biz tenglamalar tizimidan foydalanamiz (3.18):
Keling, hisoblaylik Va , formulalar (7) va (11) yordamida:
Olingan qiymatlarni tenglamalar tizimiga almashtiramiz:
.
Tizimli yechim:
Birinchi chegara shartlarini hisobga olgan holda, spline koeffitsientlari:
Chegaraviy shartlarni hisobga olgan holda spline koeffitsientlarining ta'rifini ko'rib chiqamiz (3.5):
Funktsiyaning hosilasi topilsin
:
Keling, hisoblaylik
Va
:
(21) tenglamalar tizimiga qiymatlarni almashtiramiz Va :
Formula (20) yordamida 0 va 3 ni aniqlaymiz:
Muayyan qiymatlarni hisobga olgan holda:
va koeffitsientlar vektori:
Interpolatsiya segmentlarining o'rta nuqtalarida kubik spline S(x) qiymatlarini hisoblaylik.
Segmentlarning o'rta nuqtalari:
Interpolatsiya segmentlarining o'rtasida kubik spline qiymatini hisoblash uchun biz (7) va (9) formulalardan foydalanamiz.
3.1.
Biz topamiz Va
:
(3.9) formulada koeffitsientlarni almashtiramiz
3.2.
Biz topamiz Va
:
, chegara shartlari uchun (4), (5), (6):
3.3.
Biz topamiz Va
:
(9) formulada biz koeffitsientlarni almashtiramiz
, chegara shartlari uchun (4), (5), (6):
Keling, jadval tuzamiz:
(1 kr.kond.) |
(2 kredit) |
(3 kredit) | ||
Spline so'zi (inglizcha "spline" so'zi) tekislikdagi berilgan nuqtalar orqali silliq egri chiziqlar chizish uchun ishlatiladigan moslashuvchan o'lchagichni anglatadi. Har bir segmentdagi bu universal naqshning shakli kubik parabola bilan tasvirlangan. Splinelar muhandislik dasturlarida, xususan, kompyuter grafikasida keng qo'llaniladi. Shunday qilib, har birida i– segment [ x i –1 , x i], i= 1, 2,…, N, Uchinchi darajali ko‘phad ko‘rinishida yechim izlaymiz:
S i(x)=a i +b i(x–x i)+c i(x–x i) 2 /2+d i(x–x i) 3 /6
Noma'lum koeffitsientlar a i, b i, c i, d i, i= 1, 2,..., N, dan topamiz:
Interpolatsiya shartlari: S i(x i)=f i , i= 1, 2,..., N;S 1 (x 0)=f 0 ,
Funktsiyaning uzluksizligi S i(x i – 1 )=S i– 1 (x i –1), i= 2, 3,..., N,
Birinchi va ikkinchi hosilalarning uzluksizligi:
S/i(x i – 1)=S/i– 1 (x i –1), S//i(x i –1)=S //i –1 (x i –1), i= 2, 3,..., N.
Shuni hisobga olib, ta'rif uchun 4 N noma'lumlar biz tizim 4 ni olamiz N-2 tenglama:
a i =f i , i= 1, 2,..., N,
b i h i – c i h i 2 /2+ d i h i 3 /6=f i – f i –1 , i= 1, 2,..., N,
b i – b i–1 = c i h i – d i h i 2 /2, i= 2, 3,..., N,
d i h i = c i – c i– 1 , i= 2, 3,..., N.
Qayerda h i =x i – x i– 1. Yo'qotilgan ikkita tenglama qo'shimcha shartlardan kelib chiqadi: S //(a)=S //(b)=0. Buni ko'rsatish mumkin, bu holda. Noma'lumlarni tizimdan chiqarib tashlash mumkin b men, d i, tizimni olgan N+ Koeffitsientlarni aniqlash uchun 1 ta chiziqli tenglamalar (SLAE). c i:
c 0 = 0, c N = 0,
h i c i –1 + 2(h i +h i +1)c i +h i +1 c i +1 = 6 , i= 1, 2,…, N–1. (1)
Shundan so'ng, koeffitsientlar hisoblab chiqiladi b i, d i:
, i= 1, 2,..., N. (2)
Doimiy panjara holatida h i = h Bu tenglamalar tizimi soddalashtirilgan.
Ushbu SLAE tridiagonal matritsaga ega va tozalash usuli bilan echiladi.
Koeffitsientlar formulalar bo'yicha aniqlanadi:
Qiymatni hisoblash uchun S(x) segmentning ixtiyoriy nuqtasida z∈[a, b] koeffitsientlar uchun tenglamalar tizimini yechish kerak c i, i= 1,2,…, N–1, keyin barcha koeffitsientlarni toping b i, d i. Keyinchalik, qaysi intervalni aniqlashingiz kerak [ x i 0, x i 0–1 ] bu nuqtaga tegadi va raqamni bilgan holda men 0, bir nuqtada spline va uning hosilalari qiymatini hisoblang z
S(z)=a i 0 +b i 0 (z–x i 0)+c i 0 (z–x i 0) 2 /2+d i 0 (z–x i 0) 3 /6
S/(z)=b i 0 +c i 0 (z–x i 0)+d i 0 (z–x i 0) 2 /2, S //(z)=c i 0 +d i 0 (z–x i 0).
Spline interpolyatsiyasi yordamida 0,25 va 0,8 nuqtalarda funktsiya qiymatlarini hisoblash talab qilinadi.
Bizning holatda: h i =1/4, .
Aniqlash uchun tenglamalar tizimini yozamiz:
Ushbu chiziqli tenglamalar tizimini yechish orqali biz quyidagilarga erishamiz: .
Keling, birinchi segmentga tegishli bo'lgan 0,25 nuqtani ko'rib chiqaylik, ya'ni. . Shunday qilib, biz olamiz,
Keling, to'rtinchi segmentga tegishli bo'lgan 0,8 nuqtani ko'rib chiqaylik, ya'ni. .
Demak,
Global interpolyatsiya
Qachon global interpolyatsiya butun oraliqda bitta polinom topiladi [ a, b], ya'ni. ko‘phad tuziladi, u f(x) funksiyani x argumentining butun o‘zgarishlar oralig‘ida interpolyatsiya qilish uchun ishlatiladi. Interpolyatsiya qiluvchi funktsiyani polinom (polinom) shaklida qidiramiz. m- daraja P m(x)=a 0 +a 1 x+a 2 x 2 +a 3 x 3 +…+a m x m . Barcha interpolyatsiya shartlarini qondirish uchun polinomning darajasi qanday bo'lishi kerak? Faraz qilaylik, ikkita nuqta berilgan: ( x 0 , f 0) va ( x 1 , f 1), ya'ni. N=1. Bu nuqtalar orqali bitta to'g'ri chiziq o'tkazilishi mumkin, ya'ni. interpolyatsiya qiluvchi funktsiya birinchi darajali polinom bo'ladi P 1 (x)=a 0 +a 1 x. Uch nuqta (N=2) orqali siz parabola chizishingiz mumkin P 2 (x)=a 0 +a 1 x+a 2 x 2 va boshqalar. Shu tarzda mulohaza yuritsak, kerakli polinom darajaga ega bo'lishi kerak deb taxmin qilishimiz mumkin N .
Buni isbotlash uchun biz koeffitsientlar uchun tenglamalar tizimini yozamiz. Tizim tenglamalari har biri uchun interpolyatsiya shartlarini ifodalaydi x=xi:
Ushbu tizim kerakli koeffitsientlarga nisbatan chiziqli a 0 , a 1 , a 2 , …,a N. Ma'lumki, agar determinant nolga teng bo'lmasa, SLAE yechimga ega. Ushbu tizimning determinanti
nomini oladi Vandermonde determinanti. Matematik analiz kursidan ma'lumki, agar u noldan farq qiladi x k≠x m(ya'ni, barcha interpolyatsiya tugunlari boshqacha). Shunday qilib, tizimning yechimi borligi isbotlangan.
Koeffitsientlarni topish uchun buni ko'rsatdik
a 0 , a 1 , a 2 ,
…,a N qiyin vazifa bo'lgan SLAEni hal qilish kerak. Ammo polinomni yasashning yana bir usuli bor N-bunday tizimni hal qilishni talab qilmaydigan daraja.
Lagrange polinomi
Biz shaklda yechim izlayapmiz , Qayerda l i(z) – asosli polinomlar N-shart qanoatlantiriladigan daraja: . Agar shunday ko'phadlar tuzilgan bo'lsa, ishonch hosil qilaylik L N (x) interpolyatsiya shartlarini qondiradi:
Bazisli ko'phadlarni qanday qurish mumkin? Keling, aniqlaymiz
, i= 0, 1,..., N.
Buni tushunish oson
Funktsiya l i(z) ko‘phaddir N-dan boshlab z va buning uchun "asosiylik" shartlari qondiriladi:
0, i≠k;, ya'ni. k=1,…,i-1 yoki k=i+1,…,N.
Shunday qilib, biz interpolyatsiya qiluvchi ko'phadni qurish masalasini hal qila oldik N– th daraja, va buning uchun siz SLAE ni hal qilishingiz shart emas. Lagrange polinomini ixcham formula sifatida yozish mumkin: . Ushbu formulaning xatosi, agar asl funktsiya bo'lsa, taxmin qilinishi mumkin g(x) gacha hosilalarga ega N+ 1-buyurtma:
Bu formuladan usulning xatosi funksiya xossalariga bog'liq ekanligi kelib chiqadi g(x), shuningdek, interpolyatsiya tugunlari va nuqtalarining joylashuvi z. Hisoblash tajribalari shuni ko'rsatadiki, Lagrange polinomi kichik qiymatlar uchun kichik xatoga ega N<20 . Kattaroq N xato ko'paya boshlaydi, bu Lagrange usulining yaqinlashmasligini ko'rsatadi (ya'ni, uning xatosi ortib bormaydi. N).
Keling, alohida holatlarni ko'rib chiqaylik. N=1 bo'lsin, ya'ni. Funktsiya qiymatlari faqat ikkita nuqtada ko'rsatilgan. Keyin asosiy polinomlar quyidagi shaklga ega bo'ladi:
, ya'ni. bo'lak-bo'lak chiziqli interpolyatsiya uchun formulalarni olamiz.
N=2 bo‘lsin. Keyin:
Natijada, biz deb ataladigan formulalarni oldik kvadratik yoki parabolik interpolyatsiya.
Misol: Muayyan funktsiyaning qiymatlari berilgan:
x | 3.5 | |||
f | -1 | 0.2 | 0.5 | 0.8 |
Qachon funksiyaning qiymatini topish talab qilinadi z= 1, Lgrange interpolyatsiya polinomi yordamida. Maxsus N=3, ya'ni. Lagranj ko'phad uchinchi tartibli. Keling, asosiy polinomlarning qiymatlarini hisoblaylik z=1:
Empirik formulalarni tanlash
Funksiyalarni interpolyatsiya qilishda biz interpolyatsiya polinomi va berilgan funksiya qiymatlarining interpolyatsiya tugunlarida tenglik shartidan foydalandik. Agar dastlabki ma'lumotlar eksperimental o'lchovlar natijasida olingan bo'lsa, unda aniq moslik talablari shart emas, chunki ma'lumotlar aniq olinmagan. Bunday hollarda siz faqat interpolatsiya shartlarining taxminiy bajarilishini talab qilishingiz mumkin. Bu holat interpolyatsiya funktsiyasini bildiradi F(x) aniq berilgan nuqtalar orqali emas, balki ularning ba'zi qo'shnilarida, masalan, rasmda ko'rsatilgandek o'tadi.
Keyin ular haqida gapirishadi empirik formulalarni tanlash. Empirik formulani qurish ikki bosqichdan6 iborat bo'lib, noma'lum parametrlarni o'z ichiga olgan ushbu formulaning turini tanlash va ma'lum ma'noda ushbu parametrlarning eng yaxshisini aniqlash. Formulaning shakli ba'zan fizik mulohazalardan ma'lum bo'ladi (elastik muhit uchun, kuchlanish va deformatsiya o'rtasidagi bog'liqlik) yoki geometrik mulohazalar asosida tanlanadi: eksperimental nuqtalar grafikda chiziladi va munosabatlarning umumiy shakli taqqoslash orqali taxminan taxmin qilinadi. og'irlik funktsiyalarining grafiklari bilan natijada egri chiziq. Bu erda muvaffaqiyat asosan tadqiqotchining tajribasi va sezgi bilan belgilanadi.
Amaliyot uchun funktsiyani polinomlar bo'yicha yaqinlashtirish holati muhim, ya'ni. .
Empirik bog'liqlik turi tanlangandan so'ng, empirik ma'lumotlarga yaqinlik darajasi yordamida aniqlanadi hisoblangan va eksperimental ma'lumotlarning kvadratik og'ishlarining minimal yig'indisi.
Eng kichik kvadrat usuli
Dastlabki ma'lumotlarga kelaylik x i , f i , i= 1,…,N (raqamlashni bittadan boshlash yaxshidir), Tanlangan empirik qaramlik turi: noma'lum koeffitsientlar bilan. Empirik formula va berilgan tajriba ma'lumotlari yordamida hisoblanganlar orasidagi kvadrat og'ishlar yig'indisini yozamiz:
Funksiyaning minimumi shartidan parametrlarni topamiz . Bu Eng kichik kvadratlar usuli (LSM).
Ma'lumki, minimal nuqtada barcha qisman hosilalari nolga teng:
(1)
Amalda keng qo'llaniladigan maxsus holat uchun eng kichik kvadratlardan foydalanishni ko'rib chiqaylik. Empirik funktsiya sifatida polinomni ko'rib chiqing
Kvadrat og'ishlar yig'indisini aniqlash uchun formula (1) quyidagi shaklni oladi:
Keling, hosilalarni hisoblaylik:
Bu ifodalarni nolga tenglashtirib, noma’lumlar uchun koeffitsientlarni yig‘ib, quyidagi chiziqli tenglamalar tizimini olamiz.
Butun segmentda ko'p sonli interpolyatsiya tugunlaridan foydalanganda Lagrange, Nyuton va Stirling va boshqalarning interpolyatsiya formulalari [ a, b] ko'pincha hisoblash jarayonida xatolarning to'planishi tufayli yomon yaqinlashuvga olib keladi. Bundan tashqari, interpolyatsiya jarayonining divergensiyasi tufayli tugunlar sonini ko'paytirish aniqlikning oshishiga olib kelmaydi. Xatolarni kamaytirish uchun butun segment [ a, b] qisman segmentlarga bo'linadi va ularning har birida funksiya taxminan past darajadagi ko'phad bilan almashtiriladi. U deyiladi qismli polinom interpolyatsiyasi.
Butun segment bo'yicha interpolyatsiya qilish usullaridan biri [ a, b] hisoblanadi spline interpolyatsiyasi.
Spline oraliqda aniqlangan qismli polinom funksiyasi [ a, b] va bu segmentda ma'lum miqdordagi uzluksiz hosilalarga ega. An'anaviy interpolyatsiya usullariga nisbatan spline interpolyatsiyasining afzalliklari hisoblash jarayonining yaqinlashishi va barqarorligidir.
Amalda eng ko'p uchraydigan holatlardan biri - funktsiyaning interpolyatsiyasini ko'rib chiqamiz kubik spline.
Segmentga ruxsat bering [ a, b] uzluksiz funksiya belgilangan. Keling, segmentning bir qismini kiritamiz:
va belgilang, .
Berilgan funktsiyaga va interpolyatsiya tugunlariga (6) mos keladigan spline quyidagi shartlarni qondiradigan funktsiyadir:
1) har bir segmentda funktsiya kubik ko'phad;
2) funktsiya, shuningdek, uning birinchi va ikkinchi hosilalari [ oraliqda uzluksizdir. a, b] ;
Uchinchi shart deyiladi interpolyatsiya holati. 1) – 3) shartlar bilan aniqlangan splayn deyiladi interpolyatsiya qiluvchi kub spline.
Keling, kubik splineni qurish usulini ko'rib chiqaylik.
Har bir segmentda, Biz uchinchi darajali polinom shaklida spline funksiyasini qidiramiz:
(7)
Qayerda zarur koeffitsientlar.
(7) ni ga nisbatan uch marta farqlaylik X:
shundan kelib chiqadi
Interpolyatsiya 3) shartidan biz quyidagilarni olamiz:
Bu funksiyaning uzluksizligi shartlaridan kelib chiqadi.
Amaliy masalalarda uchraydigan egri chiziqlar va sirtlar ko'pincha ancha murakkab shaklga ega bo'lib, bu elementar funktsiyalardan foydalangan holda universal analitik vazifani bajarishga imkon bermaydi. Shuning uchun ular nisbatan oddiy silliq bo'laklardan yig'iladi - segmentlar (egri) yoki kesmalar (sirtlar), ularning har biri bir yoki ikkita o'zgaruvchining elementar funktsiyalari yordamida qoniqarli tarzda tavsiflanishi mumkin. Bunday holda, qisman egri chiziqlar yoki sirtlarni qurish uchun ishlatiladigan silliq funktsiyalarning o'xshash tabiatga ega bo'lishini talab qilish tabiiydir, masalan, ular bir xil darajadagi ko'phadlar bo'lishi kerak. Va natijada paydo bo'lgan egri yoki sirt etarlicha silliq bo'lishi uchun, ayniqsa, tegishli bo'laklar birlashtirilgan joyda ehtiyot bo'lishingiz kerak. Polinomlar darajasi oddiy geometrik mulohazalardan tanlanadi va qoida tariqasida kichikdir. Butun kompozitsion egri chiziq bo'ylab tangensni silliq o'zgartirish uchun uchinchi darajali ko'phadlar, kub polinomlar yordamida birlashtirilgan egri chiziqlarni tasvirlash kifoya. Bunday polinomlarning koeffitsientlari har doim mos keladigan kompozit egri chiziqning egri chizig'i uzluksiz bo'lishi uchun tanlanishi mumkin. Bir o'lchovli masalalarni hal qilishda paydo bo'ladigan kubik splinelar kompozit sirtlarning bo'laklarini qurishga moslashtirilishi mumkin. Va bu erda ikkita o'zgaruvchining har birida uchinchi darajali polinomlar yordamida tasvirlangan ikki kubik splinelar juda tabiiy ko'rinadi. Bunday splinelar bilan ishlash sezilarli darajada kattaroq hisob-kitoblarni talab qiladi. Ammo to'g'ri tashkil etilgan jarayon kompyuter texnologiyalarining doimiy ravishda o'sib borayotgan imkoniyatlarini maksimal darajada hisobga olishga imkon beradi. Spline funktsiyalari Let on segment, ya'ni Remark. a^ sonlarining indeksi (t) buni bildiradi. har bir qisman D segmentida 5(x) funksiyani aniqlaydigan koeffitsientlar to'plami har xil ekanligini. D1 segmentlarining har birida 5(x) spline p darajali polinomdir va bu segmentda p + 1 koeffitsienti bilan aniqlanadi. Jami qisman segmentlar - keyin. Demak, splaynni to’liq aniqlash uchun (p+1)keyin sonlarni topish kerak.Shart) 5(x) funksiya va uning hosilalarining w to’rning barcha ichki tugunlarida uzluksizligini bildiradi. Bunday tugunlar soni m - 1. Shunday qilib, barcha polinomlarning koeffitsientlarini topish uchun p(m - 1) shartlar (tenglamalar) olinadi. Splaynni toʻliq aniqlash uchun shartlar (tenglamalar) yetarli emas.Qoʻshimcha shartlarni tanlash koʻrib chiqilayotgan muammoning tabiati, baʼzan esa oddiygina foydalanuvchining xohishi bilan belgilanadi. SPLINE NAZARIYASI Yechimlarga misollar Interpolyatsiya va tekislash masalalari ko'pincha tekislikdagi berilgan nuqtalar massividan u yoki bu splayn qurish zarur bo'lganda ko'rib chiqiladi.Interpolyatsiya masalalari splayn grafigining nuqtalardan o'tishini talab qiladi, bu esa m + 1 qo'shimcha yuklaydi. uning koeffitsientlari bo'yicha shartlar (tenglamalar). Splinening noyob qurilishi uchun qolgan p - 1 shartlar (tenglamalar) ko'pincha ko'rib chiqilayotgan segmentning uchlarida splinening pastki hosilalarining qiymatlari shaklida ko'rsatilgan [a, 6] - chegara ( chekka) shartlar. Turli xil chegara shartlarini tanlash qobiliyati turli xil xususiyatlarga ega splaynlarni qurish imkonini beradi. Silliqlash masalalarida uning grafigi (i""Y") * = 0, 1,..., t nuqtalar yonidan o'tadigan va ular orqali emas, shplayn tuziladi. Ushbu yaqinlik o'lchovi turli yo'llar bilan aniqlanishi mumkin, buning natijasida silliqlash splinelarining sezilarli xilma-xilligi paydo bo'ladi. Spline funktsiyalarini qurishda tanlashning tavsiflangan variantlari ularning barcha xilma-xilligini tugatmaydi. Va agar dastlab faqat qismli polinomli spline funktsiyalari ko'rib chiqilsa, ularning qo'llanilishi doirasi kengaygani sari, boshqa elementar funktsiyalardan "bir-biriga yopishgan" splaynlar paydo bo'la boshladi. Interpolyatsiya kub splaynlari Interpolyatsiya masalasining bayoni [a, 6] segmentida w to'ri berilgan bo'lsin.Raqamlar to'plamini ko'rib chiqaylik. Segmentda (a, 6) silliq funksiyani tuzing, u o" tarmoq tugunlarida belgilangan qiymatlarni oladi, ya'ni Eslatma: Tuzilgan interpolyatsiya muammosi jadvalda ko'rsatilgan silliq funktsiyani tiklashdan iborat (2-rasm). Ko'rinib turibdiki, bunday muammoning turli xil yechimlari mavjud bo'lib, tuzilgan funktsiyaga qo'shimcha shartlar qo'yish orqali kerakli o'ziga xoslikka erishish mumkin.Ilovalarda ko'pincha etarli darajada yaxshi belgilangan funktsiya yordamida analitik aniqlangan funktsiyani yaqinlashtirishga ehtiyoj bor. Masalan, [a, 6] segmentida berilgan /(x) funksiyaning qiymatlarini hisoblash muhim qiyinchiliklar bilan bog'liq bo'lgan va/yoki berilgan /(x) funksiyasi mavjud bo'lmagan hollarda. silliqlik zarur bo‘lsa, berilgan funksiyaga juda yaqin bo‘ladigan va uning qayd etilgan kamchiliklaridan xoli bo‘lgan boshqa funksiyadan foydalanish qulay.Funksiyani interpolyatsiya qilish muammosi.. [a, 6] segmentida tekis funksiya a(x) ni tuzing. berilgan f(x) funksiyaga ega bo'lgan w tarmoq tugunlari. Interpolyatsiya qiluvchi kub spline ta'rifi w to'rdagi interpolyatsiya qiluvchi kub spline S(x) funksiya bo'lib, 1) har bir segmentdagi uchinchi darajali ko'phad, 2) [a, b segmentida ikki marta uzluksiz differensiallanadi. ], ya’ni C2[ a, 6] sinfiga kiradi va 3) shartlarni qanoatlantiradi.Har bir segmentda S(x) spline uchinchi darajali ko‘phad bo‘lib, bu segmentda to‘rtta koeffitsient bilan aniqlanadi. . Segmentlarning umumiy soni m ga teng. Demak, splaynni to‘liq aniqlash uchun 4m sonlarni topish kerak.Shart S(x) funksiya va uning S"(x) va 5" hosilalari uzluksizligini bildiradi. (x) barcha ichki tarmoq tugunlarida w. Bunday tugunlar soni m - 1. Shunday qilib, barcha polinomlarning koeffitsientlarini topish uchun yana 3(m - 1) shart (tenglama) olinadi. Shartlar (2) bilan birgalikda shartlar (tenglamalar) olinadi. Chegara (chegara) shartlari [a, 6] oraliq oxirida spline va/yoki uning hosilalari qiymatlariga cheklovlar ko'rinishida ikkita etishmayotgan shart ko'rsatilgan. Interpolyatsiya qiluvchi kubik splineni qurishda ko'pincha quyidagi to'rt turdagi chegara shartlari qo'llaniladi. A. 1-turdagi chegaraviy shartlar. - [a, b] oraliqning oxirida kerakli funktsiyaning birinchi hosilasining qiymatlari ko'rsatilgan. B. 2-turdagi chegaraviy shartlar. - intervalning oxirida (a, 6) kerakli funktsiyaning ikkinchi hosilasining qiymatlari ko'rsatiladi. B. 3-turdagi chegaraviy shartlar. davriy deyiladi. Interpolyatsiya qilingan funksiya T = b-a davri bilan davriy bo'lgan hollarda bu shartlarning bajarilishini talab qilish tabiiydir. D. 4-turdagi chegaraviy shartlar. alohida izoh talab qiladi. Izoh. Ichki sepsi tugunlarida S(x) funksiyaning uchinchi hosilasi, umuman olganda, uzluksizdir. Biroq, uchinchi hosilaning uzilishlar sonini 4-turdagi shartlar yordamida kamaytirish mumkin. Bunda tuzilgan shplayn oraliqlar bo'yicha uch marta uzluksiz differensiallanuvchi bo'ladi.Interpolyatsiya qiluvchi kubik shplaynni qurish Aniqlanishi kerak bo'lgan miqdorlar soni teng bo'lgan kub splinening koeffitsientlarini hisoblash usulini tavsiflaymiz. Har bir oraliqda interpolyatsiya shplayn funksiyasi quyidagi ko rinishda izlanadi.Bu yerda SPLINE NAZARIYASI yechimlar va sonlarning misollari chiziqli algebraik tenglamalar sistemasining yechimi bo lib, ularning shakli chegaraviy shartlar turiga bog liq. 1 va 2 turdagi chegara shartlari uchun ushbu tizim quyidagi shaklga ega bo'lib, bu erda Koeffitsientlar chegara shartlarini tanlashga bog'liq. 1-turdagi chegaraviy shartlar: 2-turdagi chegara shartlari: 3-turdagi chegara shartlarida sonlarni aniqlash tizimi quyidagicha yoziladi: Oxirgi tizimdagi noma'lumlar soni mn ga teng, chunki u. davriylik shartlaridan kelib chiqadiki, po = nm. 4-turdagi chegaraviy shartlar uchun raqamlarni aniqlash tizimi shunday ko'rinishga ega bo'ladiki, bunda sistemaning yechimi asosida po va n sonlarini formulalar yordamida aniqlash mumkin. Barcha uchta chiziqli algebraik tizimlarning matritsalari diagonal dominant matritsalardir. Matritsalar yagona emas, shuning uchun bu tizimlarning har biri o'ziga xos echimga ega. Teorema. (2) shartlarni va yuqorida sanab o'tilgan to'rt turdan birining chegaraviy shartini qondiradigan interpolyatsiya qiluvchi kubik spline mavjud va noyobdir. Demak, interpolyatsiya qiluvchi kubik splaynni qurish uning koeffitsientlarini topish demakdir.Splayn koeffitsientlari topilganda [a, b] segmentning ixtiyoriy nuqtasidagi S(x) ning qiymatini (3) formula yordamida topish mumkin. . Biroq, amaliy hisob-kitoblar uchun 5(g) qiymatini topishning quyidagi algoritmi ko'proq mos keladi. X 6 [x”, bo'lsin, Birinchidan, A va B qiymatlari formulalar yordamida hisoblab chiqiladi va keyin 5(x) qiymati topiladi: Ushbu algoritmdan foydalanish qiymatni aniqlash uchun hisoblash xarajatlarini sezilarli darajada kamaytiradi. foydalanuvchi chegara (chegara) shartlari va interpolyatsiya tugunlarini tanlash ma'lum darajada interpolyatsiya splaynlarining xususiyatlarini nazorat qilish imkonini beradi. A. Chegara (chegara) shartlarini tanlash. Chegaraviy shartlarni tanlash funksiyalarni interpolyatsiya qilishning markaziy muammolaridan biridir. Bu, ayniqsa, [a, 6] segmentining uchlari yaqinida f(x) funktsiyasini 5(g) spline bilan yaqinlashtirishning yuqori aniqligini ta'minlash zarur bo'lganda muhim bo'ladi. Chegaraviy qiymatlar a va b nuqtalari yaqinidagi 5(g) splinening harakatiga sezilarli ta'sir ko'rsatadi va ulardan uzoqlashganda bu ta'sir tezda zaiflashadi. Chegaraviy shartlarni tanlash ko'pincha f(x) ga yaqinlashtirilgan funksiyaning harakati haqida qo'shimcha ma'lumotlar mavjudligi bilan belgilanadi. Agar birinchi hosila f"(x) ning qiymatlari segment oxirida (a, 6) ma'lum bo'lsa, u holda 1-turdagi chegara shartlaridan foydalanish tabiiydir. Agar ikkinchi hosilaning qiymatlari f"(x) segmentning uchlarida [a, 6] ma'lum bo'lsa, u holda 2-turdagi tabiiy foydalanish chegara shartlari. Agar 1 va 2 turdagi chegara shartlari o'rtasida tanlov mavjud bo'lsa, u holda 1 turdagi shartlarga ustunlik berish kerak. Agar f (x) davriy funktsiya bo'lsa, u holda biz 3 turdagi chegara sharoitida to'xtashimiz kerak. Agar yaqinlashtirilgan funksiyaning xatti-harakati haqida qo'shimcha ma'lumot bo'lmasa, ko'pincha tabiiy chegara shartlari deb ataladigan shartlardan foydalaniladi.Ammo shuni yodda tutish kerakki, chegaraviy shartlarni bunday tanlash bilan f( funktsiyani yaqinlashtirishning aniqligi. x) segmentning uchlari yaqinidagi S(x) spline tomonidan (a, ft] keskin kamayadi. Ba'zan 1 yoki 2 turdagi chegara shartlari qo'llaniladi, lekin tegishli hosilalarning aniq qiymatlari bilan emas, balki ularning tafovutlar yaqinlashuvi.Ushbu yondashuvning aniqligi past.Hisoblashdagi amaliy tajriba shuni koʻrsatadiki, koʻrib chiqilayotgan vaziyatda 4-turdagi chegaraviy shartlarni tanlash eng mos keladi. B. Interpolyatsiya tugunlarini tanlash. Agar funktsiyaning f""(x) uchinchi hosilasi [a, b] segmentining ba'zi nuqtalarida uzilishga ega bo'lsa, u holda yaqinlashish sifatini yaxshilash uchun bu nuqtalarni interpolyatsiya tugunlari soniga kiritish kerak. Agar ikkinchi hosila /"(x) uzluksiz bo'lsa, u holda uzilish nuqtalari yaqinida splaynning tebranishini oldini olish uchun maxsus choralar ko'rish kerak. Odatda, interpolyatsiya tugunlari ikkinchi hosilaning uzilish nuqtalari tushadigan tarzda tanlanadi. \xif oralig'ida) shunday bo'ladi. a qiymatini raqamli tajriba orqali tanlash mumkin (ko'pincha a = 0,01 ni o'rnatish kifoya). Birinchi hosila f" bo'lganda paydo bo'ladigan qiyinchiliklarni bartaraf etish uchun bir qator retseptlar mavjud. (x) uzluksiz. Eng oddiylaridan biri sifatida biz buni taklif qilishimiz mumkin: yaqinlashish segmentini hosila uzluksiz bo'lgan oraliqlarga bo'ling va bu intervallarning har birida spline tuzing. Interpolyatsiya funksiyasini tanlash (ijobiy va salbiy tomonlari) 1-yondash. Lagranj interpolyatsiya polinomi Berilgan massiv uchun SPLINE NAZARIYASI yechimlari misollari (3-rasm) uchun Lagranj interpolyatsiya polinomi formula bilan aniqlanadi. Lagranj interpolyatsiya polinomining xossalarini ikkita qarama-qarshi pozitsiyadan ko'rib chiqish, asosiy afzalliklarini alohida muhokama qilish tavsiya etiladi. kamchiliklari. 1-yondashning asosiy afzalliklari: 1) Lagranj interpolyatsiya polinomining grafigi massivning har bir nuqtasidan o‘tadi, 2) tuzilgan funksiya oson tasvirlanadi (aniqlanayotgan to‘rdagi Lagranj interpolyatsiya polinomining koeffitsientlari soni m + 1 ga teng), 3) tuzilgan funksiya istalgan tartibdagi uzluksiz hosilalarga ega, 4) interpolyatsiya ko‘phad berilgan massiv orqali yagona aniqlanadi. 1-yondashning asosiy kamchiliklari: 1) Lagranj interpolyatsiya polinomining darajasi tarmoq tugunlari soniga bog'liq va bu raqam qanchalik katta bo'lsa, interpolyatsiya polinomining darajasi shunchalik yuqori bo'ladi va shuning uchun ko'proq hisob-kitoblar talab qilinadi, 2) massivning kamida bitta nuqtasini o'zgartirish Lagranj interpolyatsiya polinomining koeffitsientlarini to'liq qayta hisoblashni talab qiladi, 3) massivga yangi nuqta qo'shish Lagrange interpolyatsiya polinomining darajasini birga oshiradi va shuningdek, uning koeffitsientlarini to'liq qayta hisoblashga olib keladi. , 4) cheksiz mesh aniqlanishi bilan Lagrange interpolyatsiyasi polinomining darajasi cheksiz ortadi. Lagranj interpolyatsiyasi polinomining cheksiz to'rli aniqlanishi odatda alohida e'tibor talab qiladi. Sharhlar A. Uzluksiz funksiyani ko‘phad bilan yaqinlashtirish haqida. Ma'lumki (Weierstrass, 1885) oraliqdagi har qanday uzluksiz (va undan ham ko'proq silliq) funktsiyani bu oraliqda ko'pnom tomonidan kerakli kabi taxmin qilish mumkin. Keling, bu haqiqatni formulalar tilida tasvirlab beraylik. f(x) funksiya [a, 6] oraliqda uzluksiz bo‘lsin. U holda har qanday e > 0 uchun R„(x) ko‘phad mavjud bo‘ladiki, [a, 6] oralig‘idan har qanday x uchun tengsizlik bajariladi (4-rasm) E’tibor bering, hatto bir xil darajadagi ko‘phadlar funksiyaga yaqinlashadi. f(x) ko'rsatilgan aniqlik bilan cheksiz ko'p. [a, 6] segmentida w to'rni quramiz. Ko'rinib turibdiki, uning tugunlari, umuman olganda, Pn(x) ko'phad va f(x) funksiya grafiklarining kesishish nuqtalari bilan mos tushmaydi (5-rasm). Demak, berilgan to‘r uchun Pn(x) ko‘phad interpolyatsiya emas. Uzluksiz funksiya Jla-gracz interpolyatsiya qiluvchi polinomi bilan yaqinlashganda, uning grafigi nafaqat [a, b] segmentning har bir nuqtasida f(x) funksiya grafigiga yaqin bo‘lishi shart emas, balki undan chetlanishi ham mumkin. bu funksiya xohlagancha. Keling, ikkita misol keltiraylik. 1-misol (Rung, 1901). [-1, 1] oraliqda funksiya uchun tugunlar sonining cheksiz ko'payishi bilan chegara tengligi qondiriladi (6-rasm) 2-misol (Beristein, 1912). Uzluksiz funktsiya /(x) = |x| uchun bir xil to'rlarda tuzilgan Lagrange interpolyatsiya polinomlari ketma-ketligi. tugunlari soni ortib borayotgan segmentda m /(x) funksiyasiga moyil emas (7-rasm). Yondashuv 2. Bo'lak-bo'lak chiziqli interpolyatsiya Agar interpolyatsiya qilingan funksiyaning silliqligidan voz kechilsa, afzalliklar soni va kamchiliklar soni o'rtasidagi nisbat birinchisiga nisbatan sezilarli darajada o'zgarishi mumkin. Nuqtalarni (xit y) to‘g‘ri chiziq bo‘laklari bilan ketma-ket bog‘lab, bo‘lakli chiziqli funksiyani quramiz (8-rasm). 2-yondoshlikning asosiy afzalliklari: 1) qismli chiziqli funktsiyaning grafigi massivning har bir nuqtasidan o'tadi, 2) tuzilgan funksiya osongina tasvirlanadi (to'r uchun aniqlanishi kerak bo'lgan tegishli chiziqli funktsiyalarning koeffitsientlari soni () 1) 2m), 3) tuzilgan funksiya berilgan massiv tomonidan yagona aniqlanadi, 4) interpolyatsiya funksiyasini tavsiflash uchun foydalaniladigan ko‘phadlar darajasi panjara tugunlari soniga bog‘liq emas (1 ga teng), 5) o‘zgaruvchan massivdagi bir nuqta to'rtta raqamni hisoblashni talab qiladi (yangi nuqtadan chiqadigan ikkita to'g'ri bog'lanish koeffitsientlari), 6) massivga qo'shimcha nuqta qo'shish to'rtta koeffitsientni hisoblashni talab qiladi. Bo'lakli chiziqli funktsiya to'rni tozalashda ham o'zini yaxshi tutadi. 2-yondoshlikning asosiy kamchiligi: bo'lak-bo'lak chiziqli funktsiyani yaqinlashish silliq emas: birinchi hosilalar tarmoq tugunlarida (interpolyatsiya quloqlari) uzilishlarga duchor bo'ladi. Yondashuv 3. Spline interpolyatsiyasi Taklif etilayotgan yondashuvlar birlashtirilishi mumkin, shunda ikkala yondashuvning sanab o'tilgan afzalliklari soni saqlanib qoladi va bir vaqtning o'zida kamchiliklar sonini kamaytiradi. Buni p darajali silliq interpolyatsiya spline funktsiyasini qurish orqali amalga oshirish mumkin. 3-yondoshlikning asosiy afzalliklari: 1) tuzilgan funksiyaning grafigi massivning har bir nuqtasidan o‘tadi, 2) tuzilgan funksiyani tavsiflash nisbatan oson (to‘r uchun aniqlanishi kerak bo‘lgan mos ko‘phadlarning koeffitsientlari soni () 1) teng 3) tuzilgan funksiya berilgan massiv tomonidan yagona aniqlanadi, 4) darajali ko‘phadlar to‘r tugunlari soniga bog‘liq emas va shuning uchun u ortib borishi bilan o‘zgarmaydi, 5) tuzilgan funksiya uzluksiz p - 1 inklyuziv tartibiga qadar hosilalar, 6) tuzilgan funktsiya yaxshi yaqinlashish xususiyatlariga ega. Qisqacha ma'lumot. Taklif etilgan nom - spline - tasodifiy emas - biz kiritgan silliq bo'lakli polinom funktsiyalari va splinelarni chizish bir-biri bilan chambarchas bog'liq. (x, y) tekislikda joylashgan massivning mos yozuvlar nuqtalaridan o'tuvchi egiluvchan ideal yupqa o'lchagichni ko'rib chiqamiz. Bernulli-Eyler qonuniga ko'ra, egri chiziqli chizg'ichning chiziqli tenglamasi S(x) egilish, M(x) - tayanchdan tayanchga chiziqli ravishda o'zgarib turadigan egilish momenti, E1 - chizg'ichning qattiqligi ko'rinishga ega. . Formulalar qatorlarini tavsiflovchi S(x) funksiya massivning har bir va ikkita qoʻshni nuqtasi (tayanchlar) orasidagi uchinchi darajali koʻphad boʻlib, butun interval (a, 6) boʻyicha ikki marta uzluksiz differensiallanadi. Izoh. 06 uzluksiz funktsiyaning interpolyatsiyasi Lagranj interpolyatsiyasi polinomlaridan farqli o'laroq, bir xil to'rdagi interpolyatsiya kub splinelar ketma-ketligi doimo interpolyatsiya qilingan uzluksiz funksiyaga yaqinlashadi va bu funksiyaning differentsial xossalari yaxshilangan sari yaqinlashish tezligi ortadi. Misol. Funktsiya uchun tugunlar soni m = 6 bo'lgan to'rdagi kubik spline Ls(z) interpolyatsiya polinomi bilan bir xil tartibdagi yaqinlashish xatosini beradi va tugunlar soni m = 21 bo'lgan to'rda bu xato bo'ladi. shunchalik kichikki, oddiy kitob chizmasi masshtabida uni shunchaki ko'rsatib bo'lmaydi (10-rasm) (1>2o(r) interpolyatsiya polinomi bu holda 10000 J ga yaqin xatolikni beradi). Interpolyatsion kub splaynning xossalari A. Kubik splinening alproksimatsion xossalari. Interpolyatsiya splinening yaqinlashuv xossalari f(x) funksiyaning silliqligiga bog'liq - interpolyatsiya qilingan funksiyaning silliqligi qanchalik yuqori bo'lsa, yaqinlashish tartibi shunchalik yuqori bo'ladi va to'rni aniqlaganda, yaqinlashish tezligi shunchalik yuqori bo'ladi. Agar interpolyatsiya qilingan f(x) funksiya intervalda uzluksiz bo'lsa. Agar interpolyatsiya qilingan f(x) funksiya [a, 6] oraliqda uzluksiz birinchi hosilaga ega bo'lsa, ya'ni 1 yoki 3-chi chegara shartlarini qanoatlantiradigan interpolyatsiya spline. turi, keyin h O uchun biz bor Bu holda, faqat spline interpolyatsiya qilingan funktsiyaga yaqinlashmaydi, balki spline hosilasi ham bu funktsiyaning hosilasiga yaqinlashadi. Agar S(x) shplayn [a, b] segmentidagi f(x) funksiyaga yaqinlashsa va uning birinchi va ikkinchi hosilalari mos ravishda B funksiyalarga taqriban bo'lsa.Kubik splinening ekstremal xossasi. Interpolyatsiya qiluvchi kubik spline yana bir foydali xususiyatga ega. Quyidagi misolni ko'rib chiqing. misol. Grafiklari massiv nuqtalari orqali o‘tuvchi C2 fazodan funksiyalar sinfi bo‘yicha funksionalni minimallashtiruvchi /(x) funksiyani tuzing.Standart nuqtalardan o‘tuvchi barcha funksiyalar qatorida (x;, /(x,) )) va belgilangan fazoga tegishli bo‘lib, chegara shartlarini qanoatlantiruvchi kubik spline 5( x) funksionalga ekstremum (minimum) beradi.Izoh 1. Ko‘pincha bu ekstremal xususiyat interpolyatsiya qiluvchi kubning ta’rifi sifatida qabul qilinadi. spline. Izoh 2. Qizig'i shundaki, interpolyatsiya qiluvchi kubik spline yuqorida juda keng funksiyalar sinfida, ya'ni |o, 5] sinfida tavsiflangan ekstremal xususiyatga ega. 1.2. Silliqlash kubik shplaynlarni tekislash masalasini shakllantirish haqida To'r va raqamlar to'plami berilsin Dastlabki ma'lumotlarga sharh. xato. Aslida, bu har bir oraliq uchun oraliq ko'rsatilganligini anglatadi va bu oraliqdan istalgan raqam y, qiymati sifatida qabul qilinishi mumkin. Y ning qiymatlarini, masalan, tasodifiy xatoni o'z ichiga olgan x o'zgaruvchisining berilgan qiymatlari uchun ba'zi y(x) funktsiyasini o'lchash natijalari sifatida izohlash qulay. Bunday "eksperimental" qiymatlardan funktsiyani tiklash masalasini hal qilishda interpolyatsiyani qo'llash qiyin, chunki interpolyatsiya funktsiyasi massivdagi (y,) tasodifiy komponent tomonidan yuzaga kelgan g'alati tebranishlarni itoatkorlik bilan takrorlaydi. Tabiiyroq yondashuv o'lchov natijalaridagi tasodifiylik elementini qandaydir tarzda kamaytirish uchun mo'ljallangan tekislash protsedurasiga asoslangan. Odatda bunday masalalarda x = x, * = 0, 1,.... m uchun qiymatlari tegishli intervallarga tushadigan va qo'shimcha ravishda ancha yaxshi xususiyatlarga ega bo'lgan funktsiyani topish talab qilinadi. Misol uchun, u uzluksiz birinchi va ikkinchi hosilalarga ega bo'lar edi yoki uning grafigi juda kuchli egri bo'lmaydi, ya'ni kuchli tebranishlarga ega bo'lmaydi. Bunday muammo, berilgan (aniq) massiv berilganda, berilgan nuqtalardan o'tmaydigan, balki ularning yonidan o'tadigan va bundan tashqari, juda silliq o'zgaruvchan funktsiyani qurish kerak bo'lganda ham paydo bo'ladi. Boshqacha qilib aytganda, kerakli funksiya berilgan massivni interpolyatsiya qilish o'rniga, uni tekislashdek tuyuldi. W to'ri va ikkita sonlar to'plami berilsin.SPLINE NAZARIYASI Muammoni yechish misollari. [a, A] segmentida silliq funksiyani tuzing, uning to'r tugunlaridagi qiymatlari y raqamlaridan berilgan qiymatlar bilan farqlanadi. Shakllangan silliqlash muammosi qayta tiklash jadvalda ko'rsatilgan silliq funktsiya. Bunday muammoning turli xil echimlari borligi aniq. Tuzilgan funktsiyaga qo'shimcha shartlar qo'yish orqali kerakli noaniqlikka erishish mumkin. Tekshiruvchi kubik shplaynning ta'rifi w to'rdagi tekislashtiruvchi kubik shprits S(x) funksiya bo'lib, 1) har bir segmentdagi uchinchi darajali ko'phad, 2) segmentda ikki marta uzluksiz differensiallanuvchi [a, 6. ], ya'ni C2 sinfiga tegishli [a , b], 3) berilgan sonlar bo'lgan funksionalga minimal beradi, 4) quyida ko'rsatilgan uchta turdan birining chegara shartlarini qanoatlantiradi. Chegara (chegara) shartlari Chegaraviy shartlar w tarmoqning chegara tugunlarida spline va uning hosilalari qiymatlariga cheklovlar ko'rinishida ko'rsatilgan. A. 1-toifa chegara shartlari. - intervalning oxirida [a, b) kerakli funktsiyaning birinchi hosilasining qiymatlari ko'rsatiladi. 2-toifa chegara shartlari. -(a,b) oraliq uchlaridagi kerakli funksiyaning ikkinchi hosilalari nolga teng.B.3-turdagi chegara shartlari davriy deyiladi.Teorema.Kubik spline S(x), funksional (4) minimize va yuqoridagi uch turdan birining chegara shartlarini qanoatlantiradigan, yagona aniqlanadi.Ta’rifi.Funksional J(f) ni minimallashtiradigan va i-gotipning chegara shartlarini qanoatlantiradigan kubik spline i-gotipning tekislashtiruvchi spline deyiladi. Izoh: Har bir izo-segmentda (, spline 5(x) uchinchi darajali mio-interval bo'lib, ushbu segmentda to'rtta koeffitsient bilan aniqlanadi. Segmentlarning umumiy soni m ga teng. Bu shuni anglatadiki, to'liq aniqlash uchun spline, 4m sonlarni topish kerak.Shart 5(ag) funksiyaning uzluksizligini va uning barcha hosilalarini o'zining barcha ichki tugunlarida o'z ichiga oladi. "Bunday tugunlar soni m - 1 Shunday qilib, barcha polinomlarning koeffitsientlarini hisoblash uchun 3(m - 1) shart (tenglama) olinadi.Tenglashtiruvchi kubik shpritsni qurish Biz kubik spline koeffitsientlarini hisoblash usulini tavsiflaymiz, unda miqdorlar soni aniqlanadi. 2m + 2 ga teng.Har bir oraliqda tekislovchi shplayn funksiyasi quyidagi ko‘rinishda qidiriladi.Bu yerda va raqamlari chiziqli algebraik tenglamalar tizimining yechimi bo‘lib, shakli turiga bog‘liq. chegara shartlari. Keling, avval n * qiymatlari qanday topilganligini tasvirlab beraylik. 1 va 2 turdagi chegara shartlari uchun Hi qiymatlarini aniqlash uchun chiziqli tenglamalar tizimi ma'lum raqamlar bo'lgan quyidagi shaklda yoziladi). Koeffitsientlar chegara shartlarini tanlashga bog'liq. 1-toifa chegara shartlari: 2-toifa chegara shartlari: 3-turdagi chegara shartlarida raqamlarni aniqlash tizimi quyidagicha yoziladi: va barcha koeffitsientlar (5) formulalar bo'yicha hisoblanadi (qiymatlar). k va m + k indekslari bilan teng hisoblanadi : Muhim* eslatma. Tizimlarning matritsalari degenerativ emas va shuning uchun bu tizimlarning har biri o'ziga xos echimga ega. Agar n, - raqamlari topilsa, u holda miqdorlar formulalar bilan oson aniqlanadi, bu erda davriy chegara sharoitlarida uning koeffitsientlarini tanlash.Og'irlik koeffitsientlarini tanlash p, - funktsional (4) ga kiritilgan. silliqlash shplaynlarining xususiyatlarini ma'lum darajada nazorat qilish imkonini beradi. Agar hamma narsa va tekislash spline interpolyatsiya bo'lib chiqsa. Bu, xususan, qiymatlar qanchalik aniq ko'rsatilgan bo'lsa, tegishli og'irlik koeffitsientlari shunchalik kichik bo'lishi kutilganligini anglatadi. Agar (x^, Vk) nuqtadan splayn o'tishi zarur bo'lsa, unda unga mos keladigan p\ og'irlik koeffitsientini nolga tenglashtirish kerak. Amaliy hisob-kitoblarda eng muhimi, pi-Let D qiymatlarini tanlash - y, qiymatini o'lchashdagi xato. Shunda tekislovchi shplayn shartni qanoatlantirishni talab qilish tabiiy, ya'ni bir xil bo'ladi.Eng oddiy holatda pi og'irlik koeffitsientlarini, masalan, ko'rinishda ko'rsatish mumkin - bu erda c qandaydir etarlicha kichik konstanta. Biroq, p og'irliklarining bu tanlovi y, - qiymatlaridagi xatolar tufayli "koridor" dan foydalanishga ruxsat bermaydi. P qiymatlarini aniqlash uchun yanada oqilona, ammo ko'proq mehnat talab qiladigan algoritm shunday ko'rinishi mumkin. Agar qiymatlar fc-iteratsiyada topilgan bo'lsa, u holda e - bu kompyuterning bit panjarasi, D qiymatlari va aniqligini hisobga olgan holda eksperimental ravishda tanlangan kichik raqam deb hisoblanadi. chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechish. Agar fc-chi iteratsiyada i nuqtada (6) shart buzilgan bo'lsa, oxirgi formula mos keladigan og'irlik koeffitsienti p, pasayishini ta'minlaydi. Agar keyingi iteratsiyada p ning o'sishi "koridor" (6) dan to'liqroq foydalanishga va oxir-oqibat, yanada silliq o'zgaruvchan splinega olib keladi. Kichkina nazariya A. Interpolyatsiya kub spline koeffitsientlarini hisoblash formulalarini asoslash. m, hozirgi vaqtda noma'lum miqdorlar bo'lgan belgini kiritamiz. Ularning soni m + 1 ga teng. Interpolyatsiya shartlarini qanoatlantiradigan va butun [a, b\ oraliqda uzluksiz bo'lgan shaklda yozilgan splayn: uni formulaga qo'yib, mos ravishda olamiz.Bundan tashqari, u [a, 6] oraliqda uzluksiz birinchi hosila: (7) munosabatni differensiallash va uni qo'yish orqali biz mos keladigan hosilani olamiz. aslida. Spline funksiyasi (7) [a, 6] oraliqda uzluksiz ikkinchi hosilaga ega bo'lishi uchun m sonlarni tanlash mumkinligini ko'rsatamiz. Splaynning ikkinchi hosilasini oraliqda hisoblaymiz: x, - 0 nuqtada (t = 1 da) oraliqda splaynning ikkinchi hosilasini hisoblaymiz. panjara a ichki tugunlarida ikkinchi lotin; m - 1 munosabatni olamiz bu yerda bu m - 1 tenglamaga chegara shartlaridan kelib chiqadigan yana ikkitasini qo'shib, m + I noma'lum miy i = 0, 1 bo'lgan m + 1 chiziqli algebraik tenglamalar tizimini olamiz. ... , m. 1 va 2 turdagi chegara shartlarida rsh qiymatlarini hisoblash uchun tenglamalar tizimi bu erda (1-toifa chegara shartlari), (2-toifa chegara shartlari) ko'rinishga ega. Davriy chegaraviy shartlar uchun (3-toifa chegara shartlari) mash o; yana bitta tugunga kengaytiring va faraz qiling. Shunda s* qiymatlarini aniqlash tizimi ikkinchi va (-!)-chi to'r tugunlarida shakl uzluksizligiga ega bo'ladi. Bizda bor Oxirgi ikki munosabatlardan biz 4-toifa chegara shartlariga mos keladigan etishmayotgan ikkita tenglamani olamiz: Tenglamalardan noma'lum gooni va tenglamalardan noma'lum pc ni chiqarib tashlasak, natijada tenglamalar sistemasiga erishamiz. E'tibor bering, bu tizimda noma'lumlar soni th - I. 6. Bir tekislash subichess spline samaradorligini hisoblash uchun formulalar asoslash. Hozirgi vaqtda Zi va nj noma'lum miqdorlar bo'lgan belgini kiritamiz. Ularning soni 2m + 2. Shaklda yozilgan spline funksiyasi butun 8 oraliqda uzluksiz, [a, 6] oraliqda uzluksiz birinchi hosilaga ega boʻldi.S(x) splinening birinchi hosilasini hisoblaymiz. oraliqda: x^ - 0 nuqtada (t = 1 da) oraliqda 5(x) splinening birinchi hosilasini hisoblab chiqamiz: Bizda mavjud nuqtada Birinchi hosilaning uzluksizlik shartidan. to'rning ichki tugunlaridagi splaynning va --> m - 1 munosabatini olamiz.Bu munosabat matritsa ko'rinishida qulay tarzda yoziladi.Quyidagi belgi qo'llaniladi.Bundan tashqari, [a, 6) oraliqdagi splayn. uzluksiz ikkinchi hosilaga ega: (8) munosabatni differensiallash va uni qo'yish orqali mos ravishda olamiz.Bundan tashqari, matritsa munosabati funksionalning (4) minimal shartidan olinadi. Bizda oxirgi ikkita matritsa tengligini 2m + 2 noma'lum uchun 2m + 2 chiziqli algebraik tenglamalarning chiziqli tizimi sifatida ko'rib chiqish mumkin. Birinchi tenglikdagi r ustunini (9) munosabatdan olingan ifoda bilan almashtirib, M ustunini aniqlash uchun yechimlar misollari SPLINE NAZARIYASI matritsa tenglamasiga kelamiz. har doim degenerativ emas. Uni topib, biz Eamsshine shahrini osongina aniqlashimiz mumkin. A va H ipmagolal matritsalarining elementlari faqat panjara parametrlari va (hi qadamlar bilan) bilan aniqlanadi va y ^ qiymatlariga bog'liq emas. Kub splayn funksiyalarining chiziqli fazosi [a, 6) to'rli wcra+l tugun bo'ylab segmentda qurilgan kubik splaynlar to'plami m + 3 o'lchamdagi chiziqli fazodir: 1) u to'rda qurilgan ikki kubik splinelar yig'indisi. >, va ixtiyoriy son bilan to'rda qurilgan kubik splinening ko'paytmasi va>, ixtiyoriy raqam bilan, bu to'rda qurilgan kubik splinelardir, 2) to'r va tugundan qurilgan har qanday kub spline to'liq aniqlanadi. Ushbu tugunlardagi m + 1 "y" qiymatlarining qiymati va ikkita chegara shartlari - faqat + 3 parametr. m + 3 chiziqli mustaqil splaynlardan tashkil topgan bu fazoda bazisni tanlab, ularning chiziqli birikmasi sifatida ixtiyoriy kub spline a(x) ni o‘ziga xos tarzda yozishimiz mumkin. Izoh. Splaynning bu turi hisoblash amaliyotida keng tarqalgan. Kubik B-splinelar (asosiy yoki fundamental splinelar) deb ataladigan ma'lumotlar bazasi ayniqsa qulaydir. D-splinelardan foydalanish kompyuter xotirasiga bo'lgan talablarni sezilarli darajada kamaytirishi mumkin. L-splinelar. W to'r bo'ylab son chizig'ida qurilgan nol gradusli B-spline pitchfork funksiyasi deyiladi.U to'r bo'ylab son chizig'ida qurilgan k ^ I darajali B-spline takrorlanuvchi orqali aniqlanadi. formula Birinchi B, -1 "(g) va ikkinchi in\7\x) darajali B-splinelarning grafiklari mos ravishda 11 va 12-rasmlarda keltirilgan. Ixtiyoriy k darajali B-spline noldan farq qilishi mumkin. faqat ma'lum bir segmentda (k + 2 tugunlari bilan aniqlanadi).Kubik B-splinelarni B, -3* (p) r,-+2 segmentida noldan farq qiladigan tarzda raqamlash qulayroqdir]. Biz uchinchi darajali kubik shplayn uchun formulani bir xil to'r uchun (A qadam bilan) taqdim etamiz. Boshqa hollarda bizda mavjud.Kubik B-splinening odatiy grafigi 13-rasmda keltirilgan. qarz olish*, a) funksiya intervalda ikki marta uzluksiz differensiallanadi, ya'ni u C2 sinfiga tegishli [a, "), k b) faqat to'rtta ketma-ket oraliqda noldan farq qiladi (w to'plamini yordamchi tugunlar bilan to'ldiramiz. to'liq o'zboshimchalik bilan olingan.Kengaytirilgan to'r w* yordamida biz m + 3 kubik B-splinelar oilasini qurishimiz mumkin: Bu turkum (a, b] segmentidagi kubik splinelar fazosida asosni tashkil qiladi. Shunday qilib, |b, 6] segmentida tuzilgan ixtiyoriy kubik spline S(z), o ; izm+1 tugun, bu segmentda chiziqli birikma ko'rinishida ifodalanishi mumkin.Masala shartlariga ko'ra, bu kengayishning ft koeffitsientlari yagona aniqlanadi. ... To‘r tugunlarida funktsiyaning y* qiymatlari hamda to‘r uchlaridagi funktsiyaning birinchi hosilasining y o va Vm qiymatlari berilganda (chegara bilan interpolyatsiya qilish masalasi) Birinchi turdagi shartlar), bu koeffitsientlar quyidagi ko'rinishdagi sistemadan hisoblanadi b- i va &m+i qiymatlari yo'q qilingandan so'ng, 5q, ..., bm va uchta noma'lumlar bilan chiziqli tizim olinadi. -o'lchovli matritsa.Shart diagonal dominantlikni va shuning uchun uni yechish uchun supurish usulini qo'llash imkoniyatini ta'minlaydi.3MMCMY 1. Shu kabi turdagi chiziqli tizimlar Zmmchnm* 2 boshqa interpolyatsiya masalalarini ko'rib chiqishda paydo bo'ladi. 1.1-bo'limda tavsiflangan algoritmlar bilan solishtirganda, * interpolyatsiya muammolarida R-spline'dan foydalanish bizga saqlangan ma'lumotlarning * hajmini kamaytirishga, ya'ni kompyuter xotirasiga bo'lgan talablarni sezilarli darajada kamaytirishga imkon beradi, garchi bu ko'payishiga olib keladi. operatsiyalar soni. Spline funksiyalari yordamida spline egri chiziqlarni qurish Yuqorida biz nuqtalari raqamlangan massivlarni ko'rib chiqdik, shunda ularning abtsissalari qat'iy ortib boruvchi ketma-ketlikni hosil qiladi. Masalan, rasmda ko'rsatilgan holat. 14, massivning turli nuqtalari bir xil abscissaga ega bo'lganda, ruxsat berilmagan. Bu holat egri chiziqlar sinfini (transport funktsiyalari) va ularni qurish usulini tanlashni aniqladi. Biroq, yuqorida taklif qilingan usul, massiv nuqtalarining raqamlanishi va ularning tekislikdagi joylashuvi, qoida tariqasida, bir-biriga bog'liq bo'lmagan umumiy holatda interpolyatsiya egri chizig'ini ancha muvaffaqiyatli qurishga imkon beradi (15-rasm). Bundan tashqari, interpolyatsiya egri chizig'ini qurish vazifasini qo'yishda biz berilgan massivni tekis bo'lmagan deb hisoblashimiz mumkin, ya'ni bu umumiy muammoni hal qilish uchun ruxsat etilgan egri chiziqlar sinfini, shu jumladan yopiq egri chiziqlarni sezilarli darajada kengaytirish kerakligi aniq. egri chiziqlar, o'z-o'zidan kesishish nuqtalari bo'lgan egri chiziqlar va fazoviy egri chiziqlar. Bunday egri chiziqlarni parametrik tenglamalar yordamida tasvirlash qulay.Biz talab qilamiz. bundan tashqari, funksiyalar yetarli darajada silliqlikka ega bo‘lishi kerak, masalan, ular C1 [a, /0] sinfiga yoki sinfga tegishli. Massivning barcha nuqtalaridan ketma-ket o‘tuvchi egri chiziqning parametrik tenglamalarini topish uchun quyidagi amallarni bajaring. 1-qadam. O'zboshimchalik bilan olingan segmentda u eng yaqin uchta nuqta bo'ylab amalga oshiriladi.
Kub spline interpolyatsiyasi
So'nggi yillarda zamonaviy hisoblash matematikasining yangi tarmog'i - nazariya jadal rivojlanmoqda splinelar. Splinelar ancha murakkab tuzilishga ega bo'lgan parametrlar orasidagi eksperimental bog'liqliklarni qayta ishlash muammolarini samarali hal qilish imkonini beradi.
Yuqorida muhokama qilingan mahalliy interpolyatsiya usullari asosan birinchi darajali (chiziqli interpolyatsiya uchun) va ikkinchi darajali (kvadrat interpolyatsiya uchun) eng oddiy spline hisoblanadi.
Oddiyligi tufayli kubik splinelar eng keng amaliy qo'llanilishini topdi. Kub splinelar nazariyasining asosiy g'oyalari elastik materialdan (mexanik shpallar) yasalgan egiluvchan shpallarni matematik jihatdan tavsiflashga urinishlar natijasida shakllangan bo'lib, ular chizmachilar tomonidan ancha silliq egri chizish zarurati tug'ilgan hollarda qo'llanilgan. berilgan nuqtalar orqali. Ma'lumki, ma'lum nuqtalarda va muvozanat holatida o'rnatilgan elastik materialning tasmasi uning energiyasi minimal bo'lgan shaklni oladi. Ushbu asosiy xususiyat eksperimental ma'lumotlarni qayta ishlashning amaliy masalalarini hal qilishda splaynlardan samarali foydalanish imkonini beradi.
Umuman olganda, funktsiya uchun y = f(x) taxminiylikni topish talab qilinadi y=j(x) Shu tarzda f(x i)= j(x i) nuqtalarda x = x i , a segmentning boshqa nuqtalarida [ a, b] qiymatlar
funktsiyalari f(x) Va j(x) bir-biriga yaqin edi. Kam sonli eksperimental nuqtalar (masalan, 6-8) bilan interpolyatsiya masalasini hal qilish uchun interpolyatsiya polinomlarini qurish usullaridan birini qo'llash mumkin. Biroq, ko'p sonli tugunlar bilan interpolyatsiya polinomlari amalda yaroqsiz holga keladi. Buning sababi, interpolyatsiya polinomining darajasi funktsiyalarning eksperimental qiymatlari sonidan faqat bitta kam. Albatta, funktsiya aniqlangan segmentni oz sonli tajriba nuqtalarini o'z ichiga olgan bo'limlarga bo'lish va ularning har biri uchun interpolyatsiya polinomlarini qurish mumkin. Biroq, bu holda, yaqinlashuvchi funktsiya hosila uzluksiz bo'lmagan nuqtalarga ega bo'ladi, ya'ni funksiya grafigida "uzilish" nuqtalari bo'ladi.
Kubik splinelarda bu kamchilik yo'q. Nurlar nazariyasini o'rganish shuni ko'rsatdiki, ikkita tugun orasidagi moslashuvchan yupqa nur kubik polinom tomonidan juda yaxshi tasvirlangan va u yiqilmasligi sababli, yaqinlashuvchi funktsiya hech bo'lmaganda doimiy ravishda differentsiallanishi kerak. Bu funktsiyalarni anglatadi j(x), j'(x), j"(x) segmentida uzluksiz bo'lishi kerak [ a, b].
Kubik interpolyatsiya spline , ushbu funktsiyaga mos keladi f(x) va bu tugunlar xi, funksiya deb ataladi y(x), quyidagi shartlarni qondirish:
1. har bir segmentda [ x i - 1 , x i], i = 1, 2, ..., n funktsiyasi y(x) uchinchi darajali ko‘phad,
Funktsiya y(x), hamda uning birinchi va ikkinchi hosilalari [ oraliqda uzluksizdir. a,b],
Kubik spline uchun uchinchi darajali ko'phadlardan yopishtirilgan i- bo'lim quyidagicha yoziladi:
Butun interval uchun u mos ravishda bo'ladi P koeffitsientlari bilan farq qiluvchi kub polinomlar Ai, b i, c i, d i. Ko'pincha, spline interpolatsiyasi paytida tugunlar teng ravishda joylashtiriladi, ya'ni. Xi +1 -Xi = const = h (garchi bu kerak bo'lmasa ham).
Har bir ko'phad ikkita nuqtadan o'tishi sharti bilan to'rtta koeffitsientni topish kerak (x i, y i) va (x i +1 , y i +1 ) , natijada quyidagi aniq tenglamalar paydo bo'ladi:
Birinchi shart polinomning boshlang'ich nuqtasi, ikkinchisi - oxirgi nuqta orqali o'tishiga mos keladi. Ushbu tenglamalardan barcha koeffitsientlarni topish mumkin emas, chunki shartlar talab qilinadigan parametrlardan kamroq. Shuning uchun bu shartlar interpolyatsiya tugunlarida funktsiyaning silliqligi (ya'ni, birinchi hosilaning uzluksizligi) va birinchi hosilaning silliqligi (ya'ni, ikkinchi hosilaning uzluksizligi) shartlari bilan to'ldiriladi. Matematik jihatdan bu shartlar oxirida birinchi va ikkinchi hosilalarning tengligi sifatida yoziladi. i th va boshida ( i+1 )-chi uchastkalar.
beri , Bu
(y’ (x i +1 ) oxirida i-syujet ga teng y'(Xi +1 ) boshida ( i+1 )-th),
(y"(Xi +1 ) oxirida i-syujet ga teng y" (xi +1 ) boshida ( i+1)th).
Natijada 4n noma’lumli (noma’lum a 1, a 2,..., a n, b 1,..., d n – spline koeffitsientlari) 4n – 2 tenglamadan iborat chiziqli tenglamalar tizimi (barcha bo‘limlar uchun) hosil bo‘ladi. Tizimni hal qilish uchun quyidagi turlardan birining ikkita chegara shartlarini qo'shing (ko'pincha 1 ishlatiladi):
4n tenglamalarning birgalikdagi yechimi barcha 4n koeffitsientlarni topishga imkon beradi.
Loyqalarni tiklash uchun har bir bo'limda mos keladigan kub polinomni farqlashingiz mumkin. Agar tugunlarda hosilalarni aniqlash zarur bo'lsa, ikkinchi yoki birinchi tartibli hosilalarni kerakli hosilalar uchun oddiyroq tenglamalar tizimini echish uchun hosilalarni aniqlashni kamaytiradigan maxsus usullar mavjud. Kub spline interpolyatsiyasining muhim afzalliklari minimal mumkin bo'lgan egrilikka ega bo'lgan funktsiyani olishni o'z ichiga oladi. Spline interpolyatsiyasining kamchiliklari nisbatan ko'p sonli parametrlarni olish zaruriyatini o'z ichiga oladi.
Interpolyatsiya masalasini MathCAD dasturi yordamida yechamiz. Buning uchun biz o'rnatilgan funksiyadan foydalanamiz interp(VS,x,y,z) . O'zgaruvchilar x Va y tugun nuqtalarining koordinatalarini belgilang, z funktsiya argumentidir, VS turini belgilaydi
intervalning oxiridagi chegara shartlari.
Uch turdagi kubik spline uchun interpolyatsiya funksiyalarini aniqlaymiz
Bu yerga cspline (VX , VY) vektorni qaytaradi VS mos yozuvlar nuqtalarida kub polinomga yaqinlashganda ikkinchi hosilalar;
pspline(VX, VY) vektorni qaytaradi VS parabolik egri chiziqqa mos yozuvlar nuqtalariga yaqinlashganda ikkinchi hosilalar;
lspline(VX, VY) vektorni qaytaradi VS chiziqning mos yozuvlar nuqtalariga yaqinlashganda ikkinchi hosilalar;
interp(VS, VX, VY, x) qiymatni qaytaradi y(x) berilgan vektorlar uchun VS, VX, VY va qiymatni belgilang x.
Berilgan nuqtalarda interpolatsiya funktsiyalarining qiymatlarini hisoblaymiz va natijalarni aniq qiymatlar bilan taqqoslaymiz
E'tibor bering, har xil turdagi kubik splinelar bilan interpolyatsiya natijalari intervalning ichki nuqtalarida deyarli bir xil va funktsiyaning aniq qiymatlariga to'g'ri keladi. Intervalning chekkalari yaqinida farq sezilarli bo'ladi va ma'lum oraliqdan tashqarida ekstrapolyatsiya qilinganida, har xil turdagi splinelar sezilarli darajada farq qiladi. Aniqroq bo'lishi uchun natijalarni grafikda ko'rsatamiz (3.5-rasm).
Guruch. 3.5 Kub spline interpolyatsiyasi
Agar funktsiya diskret ko'rsatilgan bo'lsa, interpolyatsiya uchun ma'lumotlar matritsalari belgilanadi.
Global interpolyatsiyada ko'pincha polinom interpolyatsiyasi qo'llaniladi. n-chi daraja yoki Lagranj interpolyatsiyasi.
Klassik yondashuv qadriyatlarning qat'iy muvofiqligi talabiga asoslanadi f(X) Va j(X) nuqtalarda x i(i = 0, 1, 2, … n).
Biz interpolyatsiya funksiyasini qidiramiz j(X) darajali ko‘phad shaklida n.
Bu polinom bor n+ 1 koeffitsient. Buni taxmin qilish tabiiy n+ 1 shart
j(x 0) = y 0 , j(x 1) = y 1 , . . ., j(x n) = y n (3.4)
polinom ustiga qo'yilgan
uning koeffitsientlarini aniq aniqlash imkonini beradi. Darhaqiqat, talabchan j(X) shartlarni bajarish (3.4) , tizimga ega bo‘lamiz n+ bilan 1 tenglama n+ 1 ta noma'lum:
(3.6)
Noma'lumlar uchun ushbu tizimni yechish a 0 , a 1 , …, a n polinom uchun analitik ifodani olamiz (3.5). Tizim (3.6) har doim yagona yechimga ega , chunki uning hal qiluvchi omili
deb algebrada tanilgan Vandermonde determinanti nolga teng bo'lmagan . bu nazarda tutadi , interpolyatsiya polinomi j(X) funktsiya uchun f(X), jadvalda berilgan, mavjud va noyobdir.
Olingan egri tenglama berilgan nuqtalardan aniq o'tadi. Interpolyatsiya tugunlaridan tashqarida, matematik modelda sezilarli xato bo'lishi mumkin
Lagrange interpolyatsiya formulasi
Ba'zi funksiyalarning qiymatlari ma'lum bo'lsin f(X) V n+ 1 xil ixtiyoriy nuqta y i = f(x i) , i = 0,…, P. Funktsiyani istalgan nuqtada interpolyatsiya qilish (tiklash). X, segmentga tegishli [ x 0 ,x n], Lagranj usulida quyidagicha ifodalanadigan n-tartibli interpolyatsiya ko'phadini qurish kerak:
Bundan tashqari, buni sezish oson Qj(x i) = 0, Agar i¹ j, Va Qj(x i) =1, Agar i= j. Numeratordagi barcha qavslar ko‘paytmasini kengaytirsak (maxrajdagi barcha qavslar sonlar), unda n-tartibli ko‘phadni olamiz. X, chunki numerator n ta birinchi tartibli omilni o'z ichiga oladi. Binobarin, Lagranj interpolyatsiyasi polinomi o'ziga xos belgi shakliga qaramay, oddiy n-tartibli ko'phaddan boshqa narsa emas.
Bir nuqtada interpolyatsiya xatosini hisoblang X dan [ x 0 ,xn] (ya'ni, ikkinchisini hal qiling
interpolyatsiya muammosi) formula yordamida amalga oshirilishi mumkin
Formulada - original funktsiyaning (n+1)-chi hosilasining maksimal qiymati f(X) segmentida [ x 0 ,xn]. Shuning uchun interpolyatsiya xatosini baholash uchun asl funktsiya haqida ba'zi qo'shimcha ma'lumotlar kerak (bu tushunarli bo'lishi kerak, chunki cheksiz ko'p turli xil funktsiyalar berilgan boshlang'ich nuqtalardan o'tishi mumkin, ular uchun xato boshqacha bo'ladi). Bunday ma'lumot n+1 tartibli hosiladir, uni topish unchalik oson emas. Quyida biz ushbu vaziyatdan qanday chiqishni ko'rsatamiz. Shuni ham yodda tutingki, xato formulasini qo'llash funktsiya n +1 marta differentsiallangan taqdirdagina mumkin.
Qurilish uchun Lagrange interpolyatsiya formulasi MathCAD da funksiyadan foydalanish qulay agar.
agar (kond, x, y)
Agar shart 0 (to'g'ri) bo'lmasa, x qiymatini qaytaradi. Agar shart 0 (noto'g'ri) bo'lsa, y qiymatini qaytaradi (3.6-rasm).